Movimiento Ármonico Simple

 Movimiento Armónico simple (m.a.s.)

Generalidades

Evaluemonos para mejorar

Evaluemonos para mejorar

* En un movimiento circular uniforme de radio A, la posición angular es wt, la velocidad está sobre la tangente y su magnitud es v=wA, la aceleración es centripeta y su magnitud es a=w2A

* El movimientoarmónico simple (m.a.s.) es la proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme, su ecuación es X= Acoscoswt, si para t=0,  x=A y X=Asenwt, si para t=0, x=0, X es la elongación, A la amplitud y w la frecuencia angular.

* La velocidad máxima del m.a.s. es  vmax=wA y su aceleración es  amax=w2A

* El periodo del m.a.s. es T=2π /w y la frecuencia es f=1/T

* La propiedad carcterística de un m.a.s. es  a=-W2x, esto indica que si en un problema demostramos que la fuerza aplicada a un cuerpo es  F=-kx, este tendrá un m.a.s. por que F=ma=-kx, osea, a= -(k/m)x; su frecuencia angular será  W2=K/m y su periodo T=2π/w =√m/k.

* El periodo de un resorte es  T= 2π√m/k y el de un péndulo es  T=2π√l/g.

* La energía total de un m.a.s. es  E=kx2/2 + mv2/2 = mv2max//2 =KA2/2

* En un caso más general, el m.a.s.  puede  escribirse  x=Acos(wt + ∂), siendo (wt + ∂) la fase y ∂ la fase inicial.

PRUEBA INSTITUCIONAL DE FISICA

Problemas resueltos ondas

Problemas resueltos de cuerdas vibrantes

Las ondas sonoras

En su origen, la acústica tenía por objeto el estudio de las ondas que impresionaban nuestro sentido del oído, ondas que se denominan sonoras o sonidos.  Pero su dominio se amplió, e incluye ahora las ondas que tienen las mismas propiedades físicas que el sonido, como son los ultrasonidos.

Sonido

 Desde un punto de vista físico, el sonido es una vibración que se propaga en un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso), cuando nos referimos al sonido audible por el oído humano, lo definimos como una sensación percibida en el órgano del oído, producida por la vibración que se propaga en un medio elástico en forma de ondas

.Para que se produzca un sonido es necesaria la existencia de:     

 – Un emisor o cuerpo vibrante.

 – Un medio elástico transmisor de esas vibraciones.

 – Un receptor que capte dichas vibraciones.

  El sonido tiene orígenes y características muy diferentes:- Fenómenos de la naturaleza: Una gota que cae sobre una superficie, las hojas de los árboles movidas por el viento, las olas del mar, etc. – Muchos animales tienen la capacidad de producir sonido: el ladrido de un perro, el canto de un pájaro, etc.

.- La voz humana, una de las formas más complejas de comunicación en la que se basa el lenguaje verbal.- Dispositivos creados por el hombre también pueden producir sonido: el motor de un coche, una explosión, etc.- Algunos dispositivos han sido creados expresamente para la producción de un tipo de sonido: el sonido de los instrumentos musicales.  Propagación del sonido. Un objeto cuando vibra, perturba la presión y la densidad del medio  que le envuelve, transmitiendo dicha vibración al comprimirse y expandirse, para ello es necesario que sea un medio elástico , ya que un cuerpo rígido no permite que las vibraciones se transmitan. Así pues, sin un medio elástico (aire, agua, cuerpo sólido), no habría sonido, ya que las ondas sonoras no se propagan en el vacío

Naturaleza del sonido

El origen del sonido es un movimiento vibratorio, producido por cuerpos en movimiento periódicos.

Pero no todos los movimientos vibratorios producen sonidos.  Solo las vibraciones de frecuencias de 16 hasta 20000 Hz producen la sensación de sonido. Este límite superior es variable, según la edad; mientras los niños pueden oír hasta 25000 Hz, en la vejez se llega difícilmente a los 12000 Hz.  Algunos animales en particular los perros y los murciélagos, pueden oír hasta 80000 Hz.  Se acostumbra llamar infrasonidos a las ondas sonoras cuya frecuencia es menor de 16 Hz y ultrasonidos a los de frecuencia mayores de 20000 Hz

 

.

Propagación del sonido

La propagación de la onda sonora necesita uno o varios medios elásticos, interpuestos entre la fuente sonora y el oído.  Generalmente, el aire sirve de medio elástico, en cuyo caso la velocidad de propagación es de 340 m/s a 20 ºC.  los sólidos y los líquidos transmiten también los sonidos, Por ejemplo; los nadadores debajo del agua oyen; los peces huyen cuando perciben ruidos.  Se puede oír la llegada de un tren o de un auto, pegando el oído al riel o a la carretera.

Recepción del sonido

De los numerossos receptores del sonido se destacan dos:

EL OÍDO HUMANO

Partes del Oído

 El oído es uno de los cinco sentidos del sistema sensorial, que tiene la capacidad de percibir el sonido (percepción sonora).

Anatomía del oído

En los mamíferos, el oído o sistema auditivo consta de tres partes.

Oído externo

Las ondas sonoras llegan al pabellón auricular y son dirigidas hacia el conducto auditivo externo, donde resultan amplificadas a ciertas frecuencias. Finalmente llegan a la membrana timpánica, a partir de la cual, las vibraciones se transmiten por medio sólido.

Oído medio

Incluye la trompa de Eustaquio, un conducto que comunica directamente el oído medio con la faringe, igualando la presión entre las dos bandas del tímpano. Por otro lado también está formado por la cadena de huesecillos conformada por el martillo, yunque y estribo, que son el camino de las vibraciones mecánicas hacia la ventana oval, que es otra membrana que provoca una vibración en el líquido contenido dentro del caracol. La cadena de huesecillos transforma un estímulo del medio aéreo a un medio líquido a través de la ventana oval.

Oído interno

La cóclea o caracol contiene el órgano de Corti, que en humanos consta de entre 24.000 y 30.000 células ciliadas que descansan sobre la membrana basilar. Las regiones de esta membrana vibran a distintas frecuencias características (en humanos, entre 0.02 y 20 kHz aproximadamente), en función de la distancia desde la ventana oval. Las células ciliadas se activan y transmiten información nerviosa cuando vibra la parte de la membrana basilar sobre la que se encuentran. Este es el principio fundamental de la tonotopía (organización de las neuronas en los diversos núcleos del sistema auditivo, en función de la frequencia del sonido al que responden mejor) del sistema auditivo. Finalmente la información nerviosa llega al cerebro, cada oído por separado.

  •  El Micrófono
Diagrama esquematico del micrófono

Diagrama esquematico del micrófono

Trabaja con el mismo principio que el oído.  Las ondas sonoras ponen a vibrar una membrana, M (ver figura), y esta produce pequeñas señales eléctricas que deben ser ampliadas por  A y que pueden llevarse después hasta un altavoz o grabadora,

Características del sonido

El sonido se caracteriza por tres cualidades muy particulares: la intensidad, el tono y el timbre

  1. La intensidad

Es la energía transportada en una onda por unidad de tiempo y de superficie, es proporcional a la amplitud al cuadrado; o sea, para una frecuencia dada, un sonido nos parece más y más intenso si su amplitud crece.  Esto es evidente si consideramos las moléculas de aire, cerca del tímpano; éste vibrará más fuertemente bajo la acción de los choques de las moléculas de mayor amplitud.

Umbrales de la audición

Los umbrales o límites de la audición considerados estándar corresponden a intensidades de 0 dB (umbral de audición a 120 dB (umbral de dolor) donde ya hay una molestia o dolor físico.

El margen de frecuencias audibles oscila entre 20 a 20000 Hz.

A lo largo de todo este espectro de audiofrecuencias varía la sensación de intensidad o sonoridad. Para determinar esta sonoridad se emplea el gráfico de Fletcher-Munson (curvas isofónicas). La unidad de sonoridad es el fonio.

Sistema de protección

Tenemos dos músculos (estapedio y tensor del tímpano) que tensan o relajan el tímpano y la cadena de huesecillos automáticamente, en función de la intensidad del sonido, limitando la cantidad de energía transmitida hasta la cóclea (cuyas células ciliadas son muy sensibles). El único inconveniente de este sistema es el tiempo de adaptación, durante el cual el oído puede padecer daños serios.

Además el canal auditivo externo puede segregar cerumen como barrera protectora ante la llegada de sonidos fuertes.

Algunos fenómenos psicoacústicos

* Discriminación de frecuencias: En sonidos de frecuencias próximas, si uno de ellos tiene más intensidad enmascara al otro (esto precisamente se denomina enmascaramiento). En frecuencias próximas del mismo nivel, percibimos una frecuencia intermedia denominada intertono.
* Audición binaural: La localización de los sonidos en el espacio se consigue gracias al procesamiento por separado de la información de cada oreja y de la posterior comparación de fase y nivel entre ambas señales. Tenemos más desarrollado el sentido horizontal que el vertical de audición.
* Efecto Haas: No diferenciamos sonidos separados en el tiempo por menos de 40-50 milisegundos. En este caso el primer sonido que se produce es el que se percibe, y el segundo se oye como parte de éste. A partir de los 50 ms, ya se procesan como sonidos separados.
* Presbiacusia: Es la pérdida de audición con la edad.

Variación de la intensidad con la distancia.

Variación de la audición con la distancia

Variación de la audición con la distancia

De una fuente puntual de potencia P salen ondas esféricas (véase la figura)

A la distancia r, la intensidad de la onda es:

I=P/ (4πr2)

A la distancia r’, admitiendo que no hay absorción de energía, la intensidad es:

I’=P/ (4πr’2), por tanto dividiendo las dos ecuaciones nos queda:

I/I’ = r’2/ r2,

La intensidad de la onda varía en razón al cuadrado de su distancia a la fuente.

Nivel de intensidad

El oído oye intensidades sonoras desde  10-12W/m2 hasta 1 W/m2, a causa de este gran intervalo de intensidades, se prefiere utilizar una escala logarítmica (base 10), en lugar de la natural.

Para esto, el nivel de intensidad ß de una onda sonora se define como.

ß= 10 log (I/I0)

Siendo  I0  una  intensidad arbitraria  de referencia, que se toma igual a 10-12  W/m2 y que corresponde al sonido más débil que se puede oír, los niveles de intensidad se expresan en decibeles (dB), en honor al americano Grahan Bell.

Así que el sonido más fuerte que puede tolerar un oído y que tiene una intensidad de 1 W/m2, tendrá un nivel de intensidad de:

ß= 10 log (1/10-12) = 120 dB

A continuación se muestran algunos niveles de intensidad de diferentes sonidos.

FUENTE

NIVEL EN decibeles (dB)

Umbral de sensación sonora

0

Conversación en voz baja

20

Pequeño motor

40

Conversación normal

60

Calle de mucho tráfico

80

Taladro de romper pavimento

100

Umbral de la sensación dolorosa

120

La sensación subjetiva o sonoridad que percibe el oído es proporcional al nivel de intensidad.  Esto se debe a la ley sicofísica de Weber-Fechner, ley aproximativa y válida también para la sensaciones de los otros sentidos, que dice: La magnitud de una sensación S es proporcional al logaritmo de la energía excitadora E; o sea:  S= k log (E/E0).

E0 es la energía de la excitación de referencia.

Ejemplo:

Una fuente irradia en todas las direcciones 0.4π watts de energía acústica.  Encontremos la intensidad y el nivel de intensidad en un punto situado a 100 metros.

Solución

La intensidad es:

I= P/(4πr2)= 0.4π/(4π(100)2) = 10-5 w/m2

El nivel de intensidad es:

ß= 10 log (I/I0)= 10log(10-5/10-12) = 70 dB

Si 10 fuentes iguales a la anterior irradian en todas las direcciones, a 100 metros tendremos una intensidad de;

I’ = 10I= 10*10-5= 10-4 W/ m2

Y un nivel de intensidad:

ß= 10 log (I’/I0)= 10log(10-4/10-12) = 80 dB

  1. a.      Tono

El tono de un sonido es la cualidad que corresponde a la sensación de un sonido más o menos bajo o alto.  L experiencia nos muestra que el sonido se hace más y más alto cuando crece la frecuencia, por lo tanto, podemos medir el tono de un sonido por su frecuencia.

  1. b.      Timbre

Dos sonidos de la misma intensidad y de igual tono pueden dar sensaciones muy diferentes.  Si se escucha la misma nota, dada por un violín y por un piano, inmediatamente se sabrá a que instrumento pertenece cada nota, estos sonidos difieren por sus timbres; tienen diferentes armónicos.

Armónicos

frecuencia fundamental

frecuencia fundamental y armónicos

Un sonido puro es simplemente una sinusoide.  Pero, ¿qué es un sonido complejo periódico?.  En el siglo pasado el francés Fourier mostró que cualquier función periódica de frecuencia f puede expresarse como una suma de funciones sinusoidales de frecuencia f, 2f, 3f,…..llamada frecuencia fundamental y armónicos (véase las figuras).  Así la, misma nota en el piano y en el violín

armónicos

armónicos

tienen igual frecuencia fundamental, pero difieren en el número y las

intensidades de sus armónicos;  este hecho proviene de la forma y naturaleza del instrumento, y también de la manera como fue puesto en vibración.

Análisis y síntesis

Para analizar un sonido se utiliza un micrófono, y con la ayuda de un montaje eléctrico pueden filtrarse y separarse los armónicos.  Así se obtienen todos los armónicos, con sus intensidades respectivas; es un espectro acústico.

Si sumamos todos los armónicos recibidos, reconstruiremos el sonido original; este es la síntesis del sonido.

Efecto doppler

La sirena de la ambulancia y el bicho en el estanque

sirena

sirena

Todos hemos notado que la altura (una de las características de un sonido) de la sirena de una ambulancia que se aproxima se reduce bruscamente cuando la ambulancia pasa al lado nuestro para alejarse. Esto es lo que se llama “Efecto Doppler”. El fenómeno fue descripto por primera vez por el matemático y físico austríaco Christian Doppler (1803-1853). El cambio de altura se llama en Física “desplazamiento de la frecuencia” de las ondas sonoras. Cuando la ambulancia se acerca, las ondas provenientes de la sirena se comprimen, es decir, el tamaño de las ondas disminuye, lo cual se traduce en la percepción de una frecuencia o altura mayor. Cuando la ambulancia se aleja, las ondas se separan en relación con el observador causando que la frecuencia observada sea menor que la de la fuente. (El efecto se puede ver más claramente en un applet de Walter Fendt.) Por el cambio en la altura de la sirena, se puede saber si la misma se está alejando o acercando. Si se pudiera medir la velocidad de cambio de la altura, se podría también estimar la velocidad de la ambulancia.

Una fuente emisora de ondas sonoras que se aproxima, se acerca al observador durante el período de la onda. Y, dado la longituda de la onda se acorta y la velocidad de propagación de la onda permanece sin cambios, el sonido se percibe más alto. Por esta misma razón, la altura de una fuente que se aleja, se reduce. 

Fuente en reposo

Fuente en reposo

El Efecto Doppler se observa en ondas de todo tipo (ondas sonoras, ondas electromagnéticas, etc.). Consideremos el caso de las ondas en la superficie del agua: supongamos que en el centro de un estanque hay un bicho moviendo sus patas periódicamente. Si las ondas se originan en un punto, se moverán desde ese punto en todas direcciones. Como cada perturbación viaja por el mismo medio, todas las ondas viajarán a la misma velocidad y el patrón producido por el movimiento del bicho sería un conjunto de círculos concéntricos como se muestra en la figura. Estos círculos alcanzarán los bordes del estanque a la misma velocidad. Un observador en el punto A (a la izquierda) observaría la llegada de las perturbaciones con la misma frecuencia que otro B (a la derecha). De hecho, la frecuencia a la cual las perturbaciones llegarían al borde sería la misma que la frecuencia a la cual el bicho las produce. Si el bicho produjera, por ejemplo, 2 perturbaciones por segundo, entonces cada observador detectaría 2 perturbaciones por segundo.

Fuente en movimiento

Fuente en movimiento

Ahora supongamos que el bicho estuviera moviéndose hacia la derecha a lo largo del estanque produciendo también 2 perturbaciones por segundo. Dado que el bicho se desplaza hacia la derecha, cada perturbación se origina en una posición más cercana a B y más lejana a A. En consecuencia, cada perturbación deberá recorrer una distancia menor para llegar a B y tardará menos en hacerlo. Por lo tanto, el observador B registrará una frecuencia de llegada de las perturbaciones mayor que la frecuencia a la cual son producidas. Por otro lado, cada perturbación deberá recorrer una distancia mayor para alcanzar el punto A. Por esta razón, el observador A registrará una frecuencia menor. El efecto neto del movimiento del bicho (fuente de las ondas) es que el observador hacia el cual se dirige observe una frecuencia mayor que 2 por segundo y el observador del cual se aleja perciba una frecuencia menor que 2 por segundo.

El Efecto Doppler se observa siempre que la fuente de ondas se mueve con respecto al observador. Es el efecto producido por una fuente de ondas móvil por el cual hay un aparente desplazamiento de la frecuencia hacia arriba para los observadores hacia los cuales se dirige la fuente y un aparente desplazamiento hacia abajo de la frecuencia para los observadores de los cuales la fuente se aleja. Es importante notar que el efecto no se debe a un cambio real de la frecuencia de la fuente. En el ejemplo anterior, el bicho produce en los dos casos 2 perturbaciones por segundo; sólo aparentemente para el observador al cual el bicho se acerca parece mayor.El efecto se debe a que la distancia entre B y el bicho se reduce y la distancia a A aumenta.

Fórmulas y cálculos

Para poder expresar con números el fenómeno descripto en la sección anterior, consideremos los esquemas siguientes:

Fuente fija con respecto al observador:

Fuente fija con respecto al observador: la frecuencia de la fuente y la frecuencia observada coinciden

fuentes en movimiento

la frecuencia de la fuente es menor que la observada por el observador del cual se aleja y mayor que la observada por el observador al cual se dirige. Esto es lo que se llama desplazamiento hacia el rojo y hacia el azul de la frecuencia de la fuente

 

En el primer caso, las perturbaciones generadas por la fuente tienen la misma frecuencia en el lugar en que se originan que en el lugar donde son percibidas. (La fuente está en reposo con respecto al observador.) La longitud de la onda es λ  .  En el segundo caso, la fuente se mueve: el observador del cual la fuente se aleja percibe las perturbaciones como si la onda tuviera la longitud λ’; el observador al cual la fuente se dirige lo hace como si su longitud fuera λ’’.

Sea un observador O y una fuente sonora F de frecuencia fF en reposo: en un tiempo de un periodo T= 1/ fF  la fuente emite una onda de longitud de onda

λ=cT = c/ fF

c es la velocidad de las ondas en el medio.

Pero si la fuente tiene ahora velocidad vF alejándose de O, al cabo de T estará en F’, siendo FF’ = vFt,

La nueva longitud de onda será:

λ’=cT + vFT= (c + vF)TF

λ’= (c + vF) / fF

Si el observador se mueve con velocidad vo en la dirección de la fuente, las ondas se aproximan al observador con una velocidad relativa c+ vo, de aquí deducimos la frecuencia de las ondas para el observador, de la relación λ= v/f:

fo =( c+ vo) / λ’ = ( c+ vo) / ( c+ vF)/ fF

o sea:

fo /  ( c+ vo) =  fF / ( c+ vF)

Esta relación expresa la frecuencia fo percibida por el observador, en función de la frecuencia de la fuente fF.  No es necesario deducir ecuaciones para otros casos, si se utiliza el siguiente convenio de signos:

La velocidad c de las ondas sonoras se considerará siempre positiva.  Tomaremos como dirección positiva la que va del observador hacia la fuente para vo y vF.  Si estas velocidades van en sentido contrario, se tomarán negativamente.

Ejemplos:

  1. Sea una fuente sonora de frecuencia 1000 Hz, que se acerca a un observador inmóvil con velocidad de 170 m/s.

fF=1000 Hz

vF= 170 m/s negativa porque va de la fuente al observador

c=340 m/s velocidad del sonido

vo=0 porque el observador está quieto

por  lo tanto,  tenemos:

fo=fF(c+ vo) / ( c+ vF) = 1000 Hz*(340+0)/(340 – 170) = 2000 Hz

2. Si el observador se acerca a la fuente inmóvil de frecuencia 1000 Hz con una velocidad de 170 m/s

fF=1000 Hz

vo= 170 m/s positiva porque va del observador a la fuente

c=340 m/s velocidad del sonido

vF=0 porque la fuente está quieta

por  lo tanto,  tenemos:

fo=fF(c+ vo) / ( c+ vF) = 1000 Hz*(340+170)/(340 +0) = 1500 Hz

Es interesante notar que  la frecuencia percibida en los dos ejemplos no es la misma, pero es siempre superior a la frecuencia de la fuente.  De la misma manera, se puede ver que si un observador se aleja de una fuente, o a la inversa la frecuencia disminuye.

3. Un observador y un foco sonoro de frecuencia 1000 Hz se acercan entre si, con velocidad de 170 m/s cada uno

La frecuencia percibida es:

fF=1000 Hz

vo= 170 m/s positiva porque va del observador a la fuente

c=340 m/s velocidad del sonido

vF=170 negativa porque va de la fuente al observador

por  lo tanto,  tenemos:

 

fo=fF(c+ vo) / ( c+ vF) = 1000 Hz*(340+170)/(340 – 170) = 3000 Hz

Prolemas resueltos de ondas sonoras