LENTES – INSTRUMENTOS ÓPTICOS

 

Una lente es un sistema óptico generalmente de vidrio o plástico, limitado por dos superficies refringentes.

Como la sección anterior, determinaremos la posición y el tamaño de la imagen de un objeto dado, localizando el lugar por donde se cruzan todos lo rayos provenientes de un punto objeto y procediendo de esta forma con todos los puntos del objeto. En realidad, el problema se simplifica por que seleccionamos un solo punto del objeto y escogemos solamente dos o tres radios emitidos por este punto.

Estudiaremos solamente las lentes delgadas limitadas por superficies esféricas y cuyo espesor es despreciable comparado con las dimensiones de los radios de curvatura y de las distancias del objeto a la lente.

1.       Imágenes en una superficie esférica refringente

entes1

fig. 1

El método que vamos a utilizar para encontrar la imagen de un objeto formado por una superficie refringente es, en esencia, el mismo que para las superficies reflectantes, con la única diferencia que ahora se utiliza la ley de la refracción.

Sea un punto objeto A situado a la distancia s de la superficie esférica de radio R y de centro de curvatura C que separa dos medios de índices n y n’. El rayo AV, que incide normalmente en el vértice, pasa por el segundo medio sin desviación.

El rayo AM, que forma un ángulo pequeño θ con el eje, incide haciendo un ángulo i con la   normal a la superficie y se refracta según un ángulo r. estos rayos se cortan en A’ a una distancia s’ de la superficie (ver figura 1).

Por geometría se tiene:

i= θ + α (ángulo exterior al triangulo AMC)

α= r + θ’ (ángulo exterior al triangulo CMA’)

Por la ley de Snell:

ni= n’r (por la aproximación de Gauss)

De estas tres ecuaciones, eliminando i y r obtenemos nθ+ n’θ’= (n’-n) α

Pero como

tan θ= θ= h/s (por la aproximación de Gauss)

tan θ’= θ’= h/s’ (por la aproximación de Gauss)

tan α= α= h/R (por la aproximación de Gauss)

Sustituyendo en la ecuación anterior, se tiene:

n/s +n’/s’ = n’-n/R

Esta ecuación es independiente de cualquier ángulo, por tanto es válida para todos los rayos emitidos por A y que convergen en A’.

2.       Convenio de signos para las superficies refringentes

Para las superficies refringentes (y también las lentes) se adoptan los siguientes convenios de signos, ligeramente diferentes de los adoptados para los espejos, debido a que la luz atraviesa la superficie refringente, al contrario de los espejos:

a.       Dibujar todos los esquemas con la luz incidente propagándose de izquierda a derecha.

b.      La distancia s es positiva si se encuentra a la izquierda de la superficie o de la lente (o sea para todos los objetos reales).

c.       La distancia s’ es positiva si se encuentra a la derecha de la superficie o de la lente.

d.      Las dimensiones y  y  y’ son positivas si se encuentran por encima del eje.

e.      El rayo de curvatura R es positivo si el centro de curvatura C está a la derecha de la superficie o de la lente.

En la figura 1 todas las magnitudes son positivas.

Cualquier cambio en esta situación necesita el signo negativo.

Ejemplo 1

ejemplo1

fig. 2

Un objeto A dentro de un medio de índice n está situado a la distancia s de la superficie plana que lo separa otro medio de índice n’. Localicemos la imagen A’ (ver figura 2).

Aquí R = ∞; por tanto, tenemos:

n/s + n’/s’ = 0

Y deducimos:

s’= (-n’/n)s

La imagen es virtual porque s’ es negativo.

Ejemplo 2

Ejemplo 2

Fig. 3

Una barra cilíndrica de vidrio (n= 1,5) está limitada por una superficie convexa de radio 2 cm y una superficie plana situada a 12 cm (ver figura 3). Localicemos la posición de la imagen de un objeto situado a 8 cm de la superficie esférica.

Aquí  s =8 cm, R= 2 cm, n= 1, n’= 1,5; por tanto:  1/s + 1,5/s’ = (1,5-1)/2

s’= 12 cm

La imagen es real porque s’ es positivo.

Ejemplo 3

Ejemplo 3

Fig. 4

Se invierte la barra del ejemplo  (de la figura 3) y sobre la superficie plana  se dibuja el punto A.

Localicemos su imagen (ver figura 4).

Aquí  s= 12 cm, R= -2 cm, n= 1,5, n’= 1; por tanto: 

1,5/12 + 1/s’= (1-1,5)/-2

s’= 8 cm

La imagen es real.

3.       La convergencia y la divergencia de la luz por medio de las lentes

Operación de una lente

Fig. 5

Para entender cómo opera una lente, se puede utilizar el concepto de rayo. Consideremos un haz de luz paralela que incide sobre una lámina de caras paralelas y dos prismas, como se ve en la figura 5.

La luz que atraviesa la lámina, emerge sin desviación.

La luz que incide sobre el prisma superior se desvía hacia abajo en una cantidad que depende del ángulo del prisma, mientras que la luz que incide sobre el prisma inferior se desvía arriba.

Como resultado, la luz converge en la región sombreada de la figura 5.

lentes6

Fig. 6

El tamaño de esta región puede ser más pequeña si utilizamos varios prismas. Si continuamos el proceso de usar más prismas hasta el límite, obtendremos una superficie curva; la región sombreada queda reducida a un punto llamado foco. Este sistema óptico es una lente convergente. Estas lentes son de centro más espeso que los bordes (ver figura 6); entre éstas se distinguen las lentes biconvexas (ver figura 6a), plano- convexas (ver figura 6b) y menisco-convergentes (ver figura 6c) que esquematizaremos por un segmento de recta con extremos en forma de flecha (ver figura 6d) debido a que el espesor de la lente es despreciable.

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Fig. 7

Si los prismas son como los de la figura 7, tendremos divergencia de la luz y en el límite una lente divergente.

lentes8

Fig. 8

Los bordes de estas lentes son más espesos que el centro (ver figura 8); entre éstas se distinguen las lentes bicóncavas (ver figura 8a), plano- cóncavas (ver figura 8b) y menisco-divergentes (ver figura 8c) que esquematizaremos por el símbolo de la figura 8d).

4.       Ecuación de las lentes

La ecuación de las lentes se deduce aplicándole sucesivamente a cada superficie la ecuación de la sección  1.Imagenes en una superficie esférica refringente; el objeto para la segunda superficie es la imagen formada por la primera.

lentes9

Fig. 9

Sea A un objeto situado a la distancia s de la primera superficie de radio R1 que separa los medios de índice 1 y n (ver figura 9). La posición s1 de la imagen A1

Será dada por  1/s + n/s1 =(n-1)/R1.

La imagen A1, situada a la distancia s1 de la primera superficie, es ahora un objeto situado a la distancia  -s1 de la segunda superficie (el espesor de la lente es despreciable) de radio R2 que separa dos medios de índices n y 1. La posición de la imagen final A’ será dada por  n/-s1 + 1/s’= (1-n)/R2.

Sumando estas dos ecuaciones, tenemos:

1/s + 1/s’ = (n-1) [1/R1-1/R2]

Si un objeto está en el infinito, o sea s= ∞, la luz que proviene de este objeto es paralela, la imagen de éste es el foco imagen F’ y la distancia de F’ a la lente es la distancia focal f que se deduce de la expresión anterior:

1/f= (n-1) [1/R1-1/R2

Esta expresión se denomina la ecuación del constructor de lentes porque permite calcular la distancia focal en función del índice y de datos geométricos.

Combinando las dos ultimas ecuaciones, tendremos la ecuación de la lente:

1/s + 1/s’ = 1/f

Ejemplo 4

entes10

Fig. 10

¿Cuál es la distancia focal de una lente biconvexa de vidrio (n= 1,5) cuyas superficies tienen el mismo radio 20 cm? (ver figura 10)

Aquí  R1 = +20 cm, R2= -20 cm

Entonces:

1/f= (1,5-1) [1/20-1/(-20)

f= -20 cm

Generalizando a partir del ejemplo, todas las lentes convergentes tienen la distancia focal positiva.

Ejemplo 5

Fig. 11

¿Cuál es la distancia focal de una lente bicóncava de vidrio (n= 1,5) cuyas superficies tienen el mismo radio 20 cm? (ver figura 11)

Aquí R1 = -20 cm, R2 =+20 cm. Entonces:

1/f= (1,5-1) [1/(-20)-1/20]

f= -20 cm

Generalizando a partir de este ejemplo, todas las lentes divergentes tienen la distancia focal negativa.

5.       Centro óptico y focos

a.       Centro óptico

Centro optico

Fig. 12

Cuando un rayo incide sobre S centro de la primera superficie (ver figura 12), emerge en S’ paralelamente con un pequeño desplazamiento lateral, porque en S y S’ pueden confundirse las superficies curvas con sus planos tangentes.

Si consideramos ahora lentes delgadas, S se confunde con S’ y se llama centro óptico O y el desplazamiento es despreciable; por tanto, cualquier rayo que pasa por el centro óptico atraviesa éste sin desviarse.

b.       Focos principales

Focos principales

Figu. 13

El punto imagen de un objeto en el infinito sobre el eje se denomina foco imagen F’ está situado a una distancia focal imagen f de la lente (ver figura 13). El punto objeto sobre el eje para el cual la imagen se sitúa en el infinito se denomina foco objeto F y está situado a la distancia focal objeto f, igual a la

Focos principales

Fig. 14

anterior por la simetría de la ecuación de las lentes (ver figura 14).

Los focos son reales para las lentes convergentes, y virtuales para las divergentes.

c.       Focos secundarios

Focos secundarios

Fig. 15

El punto imagen de un objeto en el infinito, pero no situado en el eje, se denomina foco secundario imagen F’ s, que se obtiene con la intersección del rayo incidente que pasa por O con el plano perpendicular al eje y que denominamos plano focal imagen (ver figura 15).

Inversamente, del otro lado, tendremos el plano focal objeto. Cualquier

Focos secundarios

Fig. 16

punto F s  de este plano producirá un haz emergente paralelo a la dirección F sO (ver figura 16).

 

 

6.       Construcción de las imágenes

Según la aproximación de Gauss, todos los rayos procedentes de un punto objeto que atraviesan la lente se cortarán en un punto llamado imagen del punto objeto; un pequeño objeto plano perpendicular al eje dará una imagen plana perpendicular al eje.

Construcción de imagenes

Fig. 17

Por tanto, para construir la imagen de un objeto AB (ver figura 17) es suficiente construir la imagen A’ de un punto A fuera del eje. Para esto pueden utilizarse algunos rayos particulares que salen de A. hay tres rayos cuyas trayectorias se dibujan fácilmente y son:

a. El rayo paralelo al eje, AM; después de la lente pasará por el foco imagen F’.

b.  El rayo que pasa por el centro óptico, AO; no se desvía.

c.  El rayo que pasa por el foco objeto, AF; emerge paralelo al eje.

Dos de estos rayos son suficientes para localizar el punto imagen. El tercero servirá para comprobar la exactitud de la construcción gráfica.

Si después de la lente, los rayos convergen, la imagen es real; si los rayos divergen, prolongaremos los rayos con líneas punteadas del lado del objeto y el punto de donde parecen provenir los rayos es la imagen virtual, porque realmente la luz no pasa por este punto.

7.       Aumento de una lente

Para determinar el aumento de una lente, tomemos un objeto AB de altura y  y construimos su imagen A’B’ (ver figura 17).

Calculemos tan θ de la figura 25, de dos maneras distintas:

tan θ = -y/y = s/s’

(El signo – es necesario ya que y’ es negativo y y, s y s’ son positivos.)

Definiremos el aumento lateral de una lente con relación a los tamaños, o sea que tendremos:

Al = y’/y = (-s’/s)

Ejemplo 6

Ejemplo 6

Fig. 18

Un objeto de altura 2 cm se encuentra a 60 cm de una lente convergente de distancia focal 20 cm. Posición y tamaño de la imagen en la figura 18.

Aquí  s =+60 cm, f= +20 cm, y= +2 cm. Entonces:

1/s’= 1/20-1/60= 2/60

s’= 30 cm

y’= -2(30/60)= -1 cm

La imagen está del lado del foco imagen, real e invertida.

Ejemplo 7

Ejemplo 7

Fig. 19

El objeto del ejemplo de la figura 18 está a 10 cm del lente. Posición y tamaño de la imagen en la figura 19.

1/s’= 1/20-1/10= -1/20

s’= -20 cm

y’= -2(-20)/10= 4 cm

La imagen está del lado del foco objeto, es virtual (porque s’ es negativo) y derecha.

Ejemplo 8

Fig. 20

Un objeto de altura 2 cm se encuentra a 60 cm de una lente divergente de distancia focal 20 cm. Posición y tamaño de la imagen en la figura 20.

Aquí  s= +60 cm, f= -20 cm, y= +2 cm. Entonces:

1/s’= 1/(-20)-1/60= -4/60

s’= -15 cm

y’= -2(-15)/60=0,5 cm

La imagen está del lado del foco objeto, es virtual y derecha.

8.       El ojo

El ojo

Fig. 21

Para poder entender las ventajas que resultan del empleo de los instrumentos ópticos, es necesario conocer algunas propiedades del ojo:

  • El globo ocular casi esférico incluye (ver figura 21)

a.       Una primera membrana dura, la esclerótica, de color blanco, que se vuelve transparente delante del ojo, la cornea.

b.       Una segunda membrana negra, la coroide, que no deja pasar ninguna luz parásita, semejante a la caja negra del aparato fotográfico. 

c.      Una tercera membrana, la retina, formada de células en forma de conos y bastones sensibles a la luz y que es la parte final del nervio óptico. La retina es insensible en el punto de llegada del nervio óptico (punto ciego) y posee una sensibilidad máxima en la mancha amarilla A (fóvea centralis). 

d.       Hacia adelante del ojo, sostenido por los músculos ciliares M una lente biconvexa elástica, el cristalino, que separa el ojo en dos regiones; delante un liquido, el humor acuoso, y detrás una gelatina, el humor vítreo. 

e.      Delante del cristalino, un diafragma coloreado, el iris, cuya abertura, la pupila, es variable y sirve para regular la cantidad de luz que entra en el ojo.

  • el conjunto córnea-cristalino se comporta como una lente convergente de distancia focal  15 mm. Todos estos medios transparentes dan sobre la retina una imagen real invertida y muy pequeña de los objetos puestos delante del ojo. El nervio óptico transmite esta imagen al cerebro, el cual la interpreta como una imagen derecha.

9.       Acomodación del ojo

La imagen de un objeto situado a una distancia s del ojo se forma sobre la retina situada a  s’= 15 mm de la lente del ojo.

Como tenemos  1/s + 1/s’= 1/f, si  s varia, obligatoriamente f debe variar, ya que s’ es constante. Por la acción de los músculos ciliares, actuando por un acto reflejo, el cristalino se curva más o menos modificando su distancia focal; es lo que llamamos la acomodación.

Acomodación del ojo

Fig. 22

Cuando los músculos no actúan, el ojo ve los objetos a una distancia máxima D; es el punto remoto (P.R.); cuando los músculos son contraídos hasta el máximo, el ojo ve los objetos a una distancia mínima d; es el punto próximo (P.P.) (ver figura 22).

Así, la acomodación le permite al ojo, por modificación de la distancia focal del cristalino, ver nítidamente los objetos situados entre el punto remoto y el punto próximo. Para un ojo normal, el P.R. está en el infinito, o sea que D= ∞.

Esta facultad de acomodación varía con la edad. Hasta 15 años, d es de 10 cm, a los 20 años es de 17 cm, a los 30 años es de 25 cm, y poco a poco con la edad aumenta o sea que los músculos pierden su poder de contracción; se dice que el ojo es présbite. Se necesita alejar el libro para poder leer; pero al mismo tiempo la imagen retiniana se hace más y más pequeña y el ojo no puede distinguir los detalles. Para restablecer la posibilidad de leer a distancia normal, se debe poner delante del ojo una lente convergente.

10.       Defectos del ojo – potencia de las lentes

a.       El ojo miope

Ojo miope

Figu. 23

Es un ojo muy convergente, o porque el ojo es muy grande o porque el cristalino es muy convergente. Los rayos luminosos que vienen de un objeto en el infinito forman una imagen delante de la retina. Su punto remoto está a distancia finita y su punto próximo está más cerca que para un ojo normal (ver figura 23).

Para corregir la miopía, habrá que disminuir la convergencia del ojo, utilizando una lente divergente, de tal manera que un objeto en el infinito de una imagen en el punto remoto.

El P.R. de un miope está a 50 cm. ¿Qué lente debe utilizar para ver un objeto situado en el infinito?

s= ∞, s’= -50 cm

Por tanto:

1/f=1/s +1/s’= 1/∞ -1/50

f= -50 cm

b.       El ojo hipermétrope

El ojo hipermétrope

Fig. 24

Es el defecto contrario. El cristalino es poco convergente y por tanto la imagen de un objeto en el infinito está detrás de la retina cuando el ojo no se acomoda. Gracias a su acomodación, el ojo puede ver nítidos  los puntos del infinito, pero su P.P. está muy alejado (ver figura 24). Para corregir este defecto se pondrá una lente convergente de tal manera que forme una imagen de un objeto situado a 25 cm en su P.P.

El P.P. de un hipermétrope está a 75 cm. ¿Qué lente tendría que usar para ver claramente un objeto situado a 25 cm?

s= 25 cm        s’= -75 cm

Por tanto:

1/f= 1/s + 1/s’= 1/25 -1/75= 2/75

f= 37,5 cm

Utilizara una lente convergente de foco 37,5 cm

c.       El astigmatismo

El astigmatismo

Fig. 25

Ocurre cuando la córnea no es esférica, sino que tiene una curvatura mayor en un plano (horizontal, por ejemplo) que en el otro (vertical, por ejemplo). El astigmatismo no permite ver nítidas las líneas de un papel cuadriculado. Se corrige este defecto poniendo delante del ojo lentes tóricos, o sea cortados dentro de un toro. En la figura 25 la lente es más curva, según AB que según CD. Se puede, orientando adecuadamente la lente, restablecer la esfericidad de la córnea.

Para las lentes destinadas a gafas, se denomina potencia al inverso de la distancia focal y se mide en dioptrías si la distancia focal se expresa en metros. Por ejemplo, una lente convergente de distancia focal  0,5 m tiene una potencia de 1/0,5 = 2 dioptrías y una lente divergente de distancia focal  -0,2 m tiene una potencia de 1/(-0,2)= -5 dioptrías.

 Problemas resueltos de lentes-instrumentos ópticos

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