Espejos planos y esféricos

ESPEJOS PLANOS Y ESFERICOS

La óptica geométrica se refiere al comportamiento de los haces luminosos en los instrumentos ópticos, pero considerando solamente los rayos luminosos; este concepto permite efectuar construcciones geométricas simples.

En esta sección estudiaremos especialmente la formación de las imágenes en los espejos planos y esféricos.

1. Propagación rectilínea de la luz

Propagación rectilinea de la luz

Fig. 1

Observaciones muestran que la luz se propaga en línea recta; por ejemplo, la iluminación de las partículas de polvo por la luz del sol que penetra en un cuarto oscuro, o por los faros de un auto de noche. Tomemos tres pantallas con un hueco en el centro y alineemos verticalmente los tres huecos con ayuda de una plomada (ver figura 1). Pongamos una bombilla arriba del primer hueco y miremos detrás del tercer hueco en la dirección de la bombilla. Veremos la luz y podremos recoger la luz en una hoja de papel. Si se desplaza transversalmente una de las pantallas, la luz no llegará al ojo ni tampoco sobre la hoja de papel.

En consecuencia, podemos postular: en un medio transparente y homogéneo, la luz se propaga en línea recta. Sobre este principio y aplicando las leyes de Snell a estos rayos, descansa toda la óptica geométrica.

2.       Sombra y Penumbra

sombra y penumbra

Fig. 2

Una fuente luminosa puntual (puede ser una pequeña abertura circular iluminada por una bombilla) emite luz que incide sobre un cuerpo opaco, por ejemplo una bola de billar (ver figura 2).

Algunos rayos, como OA, llegan hasta la pantalla pero otros, como OB, son interceptados por la bola. Finalmente, sobre la pantalla se verá una región oscura; es la sombra de la bola. Los rayos luminosos tangentes a la bola delimitan el contorno de la sombra.

sombra y penumbra2

Fig. 3

Si la fuente luminosa es extensa, una bombilla esmerilada por ejemplo, el fenómeno es más complejo.

En la figura 3, se nota:

a.       De A hacia X, la pantalla recibe luz de todos los puntos de la fuente.

b.      De A a B, la pantalla recibe luz de los puntos, cercanos a M pero no de los puntos cercanos a N. Esta región es la penumbra: de muy blanca cerca de A se vuelve más y más oscura cerca de B, gradualmente.

c.       De B a B’, la pantalla no recibe ninguna luz: es la sombra.

En conclusión, por simetría tendremos sobre la pantalla un círculo bien negro, rodeado de una región concéntrica que empieza oscura y que se vuelve más clara.

sombra y penumbra3

Fig. 4 ejemplo 1

Cuando el sol, la luna y la tierra se presentan en línea recta en este orden, se dice que hay eclipse de sol. El sol es la fuente luminosa extensa, la luna el cuerpo opaco y la tierra es la pantalla (ver figura 4).

Si una región de la tierra se encuentra:

a.       En  1, no recibirá luz alguna; el eclipse es total. 

b.      En  2, recibirá luz de las partes periféricas del sol; el eclipse es parcial, pero anular. 

c.       En  3, recibirá luz de un borde del sol; el eclipse es parcial.

En los eclipses de luna, la tierra es el cuerpo opaco que produce, sobre la luna, sombra y penumbra que pueden observarse desde la tierra.

3.       Objetos e Imágenes.

Objetos e imagenes

Fig. 5

Sea un sistema óptico, S, un conjunto de medios  transparentes y homogéneos dispuestos los unos detrás de los otros y separados por superficies generalmente esféricas o planas.

Un plano luminoso A, que llamamos objeto, envía sobre S un haz divergente; el punto puede ser luminoso por si mismo o tener una superficie rugosa que refleja luz en todas las direcciones.

Este haz penetra en el sistema óptico, lo atraviesa y se transforma en haz emergente (vea figura 5). La forma de este haz depende de la constitución del sistema óptico y de la posición de A. se distinguen:

a.       Un haz emergente paralelo; diremos que la imagen A’ de A esta en el infinito (ver figura 5).

 
 
 
 
 
 

Objetos e imagenes

Fig. 6

b.  

Un haz emergente convergente en A’; diremos que A’ es la imagen real de A (ver figura 6). Si nuestro ojo está en O, no veremos A’, porque ningún rayo que forma este punto llega al ojo; si el ojo está en O’, en el interior del haz, el ojo verá A’. Si en A’ se

Objetos e imagenes

Fig. 7

pone una pantalla hecha de vidrio esmerilado, veremos sobre la pantalla un punto luminoso desde cualquier posición debido a la luz dispersada por la pantalla en todas las direcciones (ver figura 7). Evidentemente, si la pantalla es opaca pero mate, solamente delante de la pantalla (en O’’, por ejemplo) se podrá ver A’. 

En conclusión, una imagen real puede ser recibida en una pantalla.

 
 
 
 
 
 

Objetos e imagenes

Fig. 8

c.     

Un haz emergente divergente que parece provenir de A’; diremos que A’ es una imagen virtual de A (ver figura 8). 

El ojo puesto en O’ no vera nada, pero puesto en O, dentro del haz, tendrá la impresión de que en  A’ existe un punto luminoso; evidentemente una imagen virtual no puede ser recibida en una pantalla.

En todo lo anterior, el objeto era real. Pero puede presentarse un caso distinto.

Objetos e imagenes

Fig. 9

Consideremos un objeto real A y admitamos que el sistema óptico S nos de una imagen real  A’. Ahora pongamos un nuevo sistema óptico S’ antes de que los rayos converjan en A’ (ver figura 9). Al penetrar en el nuevo sistema, los rayos cambian de

dirección y forman la imagen A’’; diremos que A’ es un objeto virtual para el sistema S’. Así, una imagen real en un sistema puede ser objeto virtual para otro sistema.

Objetos e imagenes

Fig. 10

Es importante notar que si objeto esta situado muy lejos (por ejemplo, en el infinito) cada punto del objeto envía sobre un sistema óptico S un haz de luz prácticamente paralelo, pero todos los haces no son paralelos entre ellos (ver figura 10).

4.       Imágenes en los espejos planos

Estudiemos ahora el problema de encontrar la imagen de un objeto en un espejo plano.

Imagenes en los espejos planos

Fig. 11

Sea el objeto A situado a una distancia s del espejo. De todos los rayos que emite consideremos el rayo AO, normal al espejo, y un rayo arbitrario AO’ que incide con el ángulo de incidencia ί (ver figura 11). Los rayos reflejados son OA y O’R. Como divergen, los prolongamos mediante líneas de trazos, hacia el interior del espejo; estas líneas se cortan en A’, situado a una distancia S’ del espejo. Como el ángulo θ es igual a ί (alternos internos) y como el ángulo θ’ es igual a ί’ (correspondientes) y debido a que ί = ί’ (ley de Snell), se concluye que θ = θ’; por tanto, los triángulos rectángulos AOO’ y A’OO’ son iguales y, por consiguiente, s = s’.

El resultado es cierto, cualquiera que sea el ángulo de incidencia ya que no aparece en el resultado. En conclusión, todos los rayos que salen de A después de su reflexión parecen venir de A’; A’ es la imagen virtual de A.

Si el objeto es finito, como la mano de una persona, cada punto del objeto tiene una imagen virtual simétrica; por tanto, tendremos una imagen virtual simétrica con respecto al espejo. La imagen de una mano derecha es una mano izquierda, y si un objeto gira a la derecha, su imagen gira a la izquierda.

5.       Aproximación de Gauss

Al fin de simplificar nuestros futuros cálculos vamos a admitir, a partir e ahora, que todos los ángulos de incidencia refracción son muy pequeños, de tal manera que θ = sen θ = tan θ, en donde θ está expresado en radianes. En este caso, la ley de Snell de la refracción n sen ί = n’ sen ί’ se convierte en nί = n’ί’.

Los rayos que satisfacen esta condición son siempre casi paralelos al eje de los sistemas ópticos; los denominamos rayos paraxiales.

Esta aproximación llamada de Gauss nos simplificará las relaciones entre la posición del objeto y de la imagen para cualquier tipo de superficie reflectante o refringente.

6.       Imágenes en los espejos esféricos

Cuando la superficie reflectante es curva, la ley de la reflexión también se aplica pero la posición y el tamaño de las imágenes dadas por los espejos planos. Los espejos esféricos son casquetes esféricos cóncavos o convexos, según que el espejo refleje la luz desde el interior o desde el exterior de la esfera.

Consideremos un objeto A situado sobre el eje de simetría, a la distancia s de un espejo cóncavo de rayo R y cuyo centro de curvatura es C.

Imagenes en los espejos esféricos

Fig. 12

El rayo AV en la dirección del eje, hacia el vértice del espejo, regresa sobre si mismo. Un rayo que sale de A haciendo un ángulo pequeño θ con el eje, se refleja haciendo un ángulo ί con la normal CM al espejo y regresa cortando el eje en A’ a una distancia s’ de V y haciendo el ángulo θ’ con el eje (ver figura 12).

Por geometría se tiene:

α = θ + ί (ángulo exterior al triangulo AMC).

θ ‘ = α + ί (ángulo exterior al triangulo CMA’)

Eliminando el ángulo ί, se tiene:

θ + θ’= 2α

Pero como:

tan θ = θ= h/s (por la aproximación de Gauss)

tan θ’ =θ’= h/s’

tan α = α = h/R

y sustituyendo en la ecuación anterior, resulta:

1/s+1/s’=2/R

Como esta ecuación no contiene ángulo alguno, es también válida para todos los rayos paraxiales que salen de A y convergen en A’.

Si el objeto está en el infinito sobre el eje, la luz incide paralelamente al eje del espejo; su imagen se denomina foco y está situado a la distancia f del vértice del espejo llamada distancia focal, que se deduce de la ecuación anterior cuando s = ∞ y s’ = f, o sea:

f =R/2

Inversamente, un objeto puesto en el foco tendrá su imagen en el infinito.

Finalmente, la ecuación de los espejos es:

1/s+1/s’=1/f

7.       Convenio de signos para los espejos

Adoptando un convenio de signos para s, s’, R, f, y, y’, una sola relación nos servirá para todos los casos.

Dibujar todos los esquemas con la luz incidente propagándose de izquierda a derecha.

Las distancias s y s’ son positivas si se encuentran a la izquierda del espejo.

Las dimensiones y del objeto y  y’ de la imagen son positivas si se encuentran por encima del eje.

El rayo de curvatura R y, por tanto, f son positivos, si el centro de curvatura está a la izquierda.

En la figura 12 todas las magnitudes son positivas. Cualquier cambio en esta situación necesita el signo negativo.

Si s y s’ son positivos, esto significa que el objeto y su imagen son reales; si s y s’ son negativos, el objeto y su imagen son virtuales, porque están situados del otro lado del espejo, en donde no puede haber luz.

8.       Aumento de un espejo

Aumento de un espejo

Fig. 13

Para determinar el aumento, tomemos un objeto AB en forma de flecha y de altura y. construimos su imagen A’B’, dibujando el rayo emitido por A que incide en V con el ángulo ί para formar A’ (ver figura 13).

Calculemos tan ί de dos maneras distintas; o sea:

tan ί = -y’/s’=y/s

(El signo – es necesario, ya que y’ es negativo y s, s’ y y son positivos.)

Definiremos el aumento lateral de un espejo, según la relación de las alturas; o sea:

A l= y’/y = -s’/s

9.       Construcción de las imágenes

Construcción de imagenes

Fig. 14 ejemplo 2

Consideremos un objeto pequeño que tomaremos siempre como una flecha AB perpendicular al eje, con el punto B sobre el eje.

Admitiendo que la imagen A’B’ es perpendicular también al eje, tendremos solamente que construir la imagen A’ de A, para conocer la posición y el tamaño de A’B’. Para eso, algunos rayos llamados principales son suficientes (ver figura 14):

a.       El rayo AM paralelo al eje: pasa después de reflexión por el foco F. 

b.      El rayo AFN que pasa por el foco: sale después de reflexión paralelo al eje  

c.       El rayo ACP que pasa por el centro de curvatura: regresa sobre si mismo (como coincide con un radio del espejo, incide perpendicularmente sobre la superficie).

En los siguientes ejemplos mostraremos la construcción de algunas imágenes.

Sea un espejo cóncavo de radio 20 cm. Si se coloca un objeto de 2 cm de altura a 30 cm del espejo, ¿en donde estará su imagen y cuál será su tamaño?

Aquí  s = +30 cm, R =+20 cm (ver figura 14) y deducimos:

1/s’=2/R-1/s=2/20-1/30=2/30

s’ =15 cm

Como

y’/y=-s’/s

y’=-2(15/30)=-1 cm

La imagen es real. El signo – de y’ indica que la imagen es invertida. Es siempre útil dibujar más o menos a escala la imagen, así se evitarán errores de signos o numéricos.

Construcción de imagenes

Fig. 15 ejemplo3

El mismo espejo del ejemplo de la figura 14, pero el objeto esta a 20 cm.

Según la figura 15 tenemos:

1/s’=2/20-1/20=1/20

s’ = 20 cm

y’= -2(20/20)=-2 cm

El mismo espejo del ejemplo de la figura 14, pero el objeto está a 5 cm.

Construcción de imagenes

Fig. 16 ejemplo 4

Según la figura 16 tenemos:

1/s’=2/20-1/5=-1/10

s’ =-10 cm

y’ = -2(-10)/5=4

s’ negativo indica que la imagen está a la derecha del espejo; por tanto es virtual (no puede existir imagen real a la derecha del espejo) y derecha porque y’ es positiva.

Sea un espejo convexo de radio 20 cm. Si se coloca un objeto de 2 cm de altura a 30 cm del espejo, ¿en dónde estará su imagen y cuál será su altura?

Construcción de imagenes

Fig. 17 ejemplo 5

Aquí  s=+30 cm, R=-20 cm (ver figura 17) y deducimos:

1/s’=2/(-20) -1/30= -4/30

s’ = -7,5 cm

y’ = -2(-7,5)/30= 0.5 cm

La imagen es virtual y derecha.

Construcción de imagenes

Fig. 18 ejemplo 6

Un dentista desea mirar el interior de los dientes con un aumento de 5, por medio de un espejo esférico situado a 2 cm de los dientes (ver figura 18). ¿Cuál debe ser el radio de curvatura del espejo y cuál es la clase de espejo?

El aumento lateral es:

AL = -s/s = 5

O sea:

s’ = -5s = -5*2=  -10 cm

El radio de curvatura es:

2/R= 1/2 + 1/(-10) = 4/10

R= 5 cm

Como el radio de curvatura es positivo, el espejo es cóncavo.

problemas resueltos de espejos planos y esfèricos

Comentarios
  1. williamhol1 dice:

    eres una personita muy especial para mi.
    quiero q sepas q ocupas un lugar muy
    especial en mi corazon…
    te quiero mucho…………..

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